運転免許証の住所変更は(引越し先の)警察署だったり - 役所だったりで手続き

運転免許証の住所変更は(引越し先の)警察署だったり
役所だったりで手続きですか？どちらですか？

引っ越しした場所によります。
まずは役所に行って、転入・転居届を出しますよね？ついでに住民票の写し（戸籍あり、マイナーなし）で取得。
その足で警察署か運転免許センターに、行く。
更新の関係で免許センターが近すぎて警察署がだめなケースもあるので、まずは免許センターに聞くことですかね…

運転免許の住所変更は警察署で大丈夫。
マイナンバー関係は役所です。

運転免許は各都道府県の警察が担当です。よって、住所変更の手続きは警察署等で行います。「役所」にも色々ありますが、一般的にそう呼ばれるものは通常、都道府県ではなく市町村の施設なので、管轄外です。
運転免許証の住所変更の手続きは、引っ越し先の住所の最寄りの警察署に平日の昼間に行くのが適切です。新住所の証拠書類が必要なので、転入手続きを役所で取った後、住民票の写しを取得して、そのまま最寄りの警察署に行くのがスムーズです。免許証は作り直さず、裏面に変更事項を記載するだけですので、時間はたいしてかかりません。
マイナンバーカードは役所の担当なので、転入手続きをする時に合わせて手続きをしてしまいましょう。こちらも裏書きするだけなので、時間はたいしてかからないはずです。