免許更新についての質問です。 - 去年の春に引っ越して、住民票や郵便物の変更手

免許更新についての質問です。
去年の春に引っ越して、住民票や郵便物の変更手続きは行ったのですが、運転免許は裏に新しい住所を書いてそのままでも大丈夫だったのでそのままにしていました。
ですが先日旧住所の方で免許更新のお知らせが届きました。新住所で更新をしたいのですが、何をどう手続きしたらいいのでしょうか。
知識がなくて申し訳ないです。よろしくお願いいたします。

新しい住所は質問者さんが自分で免許証の裏に
書いたと言う事でしょう。
つまり警察署か免許センターて住所変更(記載事項変更)
の手続きをしていないから更新案内のハガキが旧住所宛に来たのです。
新住所で更新をしたいならまず新しい住所の住民票の写しを新住所のある
役場で発行してもらいそれを持参して免許センターで更新と住所変更を
同時にする。(詳しくは都道府県免許センターのホームページで)
それと免許証の裏の備考欄に自分で色々書いてはいけません。
今後免許証の裏の備考欄には自分(質問者さん)で勝手に
色々書かないように。

え？勝手に新住所を裏書きしたんですか？
それはマズいです。
公印が捺されていればいいんですが…

新住所の住民票の写しを取得して、新住所を管轄する更新窓口に行けば、運転免許証の住所変更と更新を同時に出来ます。
その際、免許証の裏面に「勝手に落書き」をしたことを叱責されるでしょうが、素直に謝っておきましょう。更新窓口は警察の施設で、免許証の裏面の公安委員会使用欄に勝手に何かを書き込むことは犯罪です。立場の弱い人間が、警察にケンカを売ることはお薦めできません。

なぬ？？
自分で住所を書いたって事？
そりゃ～あかんわｗ
まあ、現住所地の公安で住民票とか
公共料金の請求書なんかを持って、住所変更と
更新を同時にすればよい。

基本的に更新の際に同時に手続きできます。
お住まいのエリアの警察のホームページを見てください。
ところで、
>運転免許は裏に新しい住所を書いてそのままでも大丈夫だった
>旧住所の方で免許更新のお知らせが届きました
裏に新しい住所が書いてあるというのは手続きをしたと言うことだと思うのですが、もしかして勝手に書いたのですか…？

届出書が運転免許試験場、優良運転者免許更新センター又は警察署などに用意してあります。
新住所を確認できる書面(住民票、健康保険被保険者証、公共料金領収書、新住所に届いた本人宛ての郵便物などいずれか１種類)を持参して更新手続きと同時に変更可能です。