運転免許の更新が5月10日までなのですが、うっかりしており、10日

運転免許の更新が5月10日までなのですが、
うっかりしており、10日までには行けず、
12日に行く事になりそうです。
この場合6ヶ月以内なので免許は更新できると思うのですが、期限切れの場合は更新手数料は少し高くなるのでしょうか？

期限を過ぎたらもう更新はできません。できるのは「再取得」と言う手続きで、更新の手続きではありません。無試験で済むので難しくはないですが、それでも準備する書類や支払う手数料、対応可能な窓口に違いがあるので、更新と同じだと甘く考えないほうがいいですよ。最低限、本籍入りの住民票の写しと申請用写真の準備が必要になります。
かかる費用も、免許証の種類ごとにいくら、と言う金額設定で、一般的に更新費用の倍程度かかります。例えば、原付、普通自動車、普通自動二輪の3種を持つ人が、初回講習を受ける予定で期限を切らしてしまった場合、失効再取得では 1,900円✕3種(試験手数料)、1,350円(講習手数料)、2,050円+200円+200円(交付手数料)の、合計9,500円かかります。こういう場合、原付は継続しなくても普通自動車と普通二輪の免許で乗れるから、と原付を放棄して2種だけで再取得をし、7,400円で済ませる、と言うことも行われます。不自然に下免許がなく上位免許だけ持っている人が居れば、大抵は失効再取得で取り直した人です。
詳細な手続きや必要書類、窓口などについては、住所地の都道府県名と「運転免許 期限切れ」で検索し、各都道府県の警察のホームページにある案内記事を確認しましょう。
再取得は免許の取り直しなので、免許歴が途切れてしまいます。よって、ゴールド免許に必要な5年の免許歴の達成が遠のきますし、次回の更新は「初回更新」扱いになります。また、免許証番号は変わりませんが、免許証左下の初取得日が再取得の日に変わってしまうので、迂闊にも期限を過ぎる失敗で再取得をした人間である、と言うことが一目瞭然になります。
どんな予定があるのか知りませんが、万難を排して期限までに更新手続きを取るべきで、安易に再取得で済ませようとはしないほうがいいですよ。

新規所得扱いなので更新ではありません。
車ならまた初心者マークを１年間つけてくださいね。

5月10日を過ぎたら更新ではなく新規取得です。
講習を受けたら新規取得出来る特例があるだけです。
当然ですが1年間は初心者扱いです。
それが嫌なら5月2日、5月6日、5月8日、5月9日、5月10日に免許センターに行きましょう。

「更新」ではなく「再交付」になって免許証上の交付日がリセットされます。
当然手続き内容も異なるし試験（実際には講習と適正検査）必要になるので料金も異なってきます。

うっかりしており、10日までには行けず、12日に行く事になりそうです。
わずかですが・変動あり

更新手数料としては高くなりますよ。
特に複数免許を持っている方は１種類に付き手数料、交付手数料がかかります
例えば普通免許＋二輪免許だと２倍かかります。