自動車の免許更新と共にバイクの免許の交付申請は可能でしょうか。

自動車の免許更新と共にバイクの免許の交付申請は可能でしょうか。

手持ちの免許証に種類を追加する手続きは併記と言いますが、併記と更新は同時にはできず、するなら順々にしていく必要があります。受付時間に問題が無ければ、同日にすることはできるでしょう。
ただし、併記をしてしまえば、それで有効期限が先に変わるので、更新をしなくてよくなります(更新が出来なくなります)。現在の免許証の有効期限までに併記ができるなら、併記をするだけでOKです。
よって、更新をしてから併記をするか、併記だけをするかの二択です。

バイク免許を併記すれば、免許更新時期も自動的に延長されるよ。

有効期限に間に合うのであれば、バイク免許の併記だけで実質更新も可能です。