運転免許証の裏に今住んでいる住所を手書きしてしまいました。19

運転免許証の裏に今住んでいる住所を手書きしてしまいました。19歳学生です。
先日、熱があったのでコロナだとまずいと思い、熱が下がったタイミングで薬局で抗体検査を受けにいきました。本人確認の際に、住所変更をしていなかったのでどうすればいいか聞くと、「それでしたら、免許証の裏面に今の住所書いていただけますか？これを証明とするので」と言われ、ボールペンを渡されたので手書きしたのですが、後々調べると、免許証の裏面に手書きするのはダメなことだと知り焦っています。この場合どうすればいいのでしょうか？

手続きとしては新住所の所轄警察署に住民票をもって赴き、窓口で住所変更の旨を伝えれば大丈夫です。
裏書きについても事情説明すれば『ひと言お叱りを受ける程度』で対応してくれます。
次回更新までと放置し、取り締まりの際に発見されると公文書偽造と住所変更について強めに怒られるので自発的に動きましょう。
まだ免許証がクレジットカードサイズじゃ無かった頃、財布に入らないからと小さくカットして会社の上司が警察官からめっちゃ怒られてたことを思い出しました。

まず住所変更が遅れたことで怒られてください
手書きしたことについては経緯を話せば納得はしてくれると思いますが
そもそも住所変更してなかったから起きた話です

運転免許証を虚偽の理由で再交付を受けると詐欺罪になりますし、公文書偽造罪なのですが、「警察のバカ」などと裏面にいたずら書きする輩も結構いますので、更新の時に怒られて（訓戒）で済むこともあるかもしれません。
更新の時に住所変更する人も多いですね。
ちなみに、薬局の人は、公文書偽造教唆罪ですね。
法律を知らないことは、関係ありません。

立派な犯罪。それを庇うやつの気がしれない

とくに問題ないでしょう。
早めに住所変更をすることです。