免許の初回更新って、免許をとったセンターじゃないとダメなんですか？

免許の初回更新って、免許をとったセンターじゃないとダメなんですか？

初回の免許更新を行える場所は、運転免許試験場か運転免許センターの2ヵ所のみです。
初回の免許更新は警察署ではできません。

いいえ。初回に限りませんが、運転免許に記載されている住所の都道府県の指定の窓口で更新ができます。なので、転居した場合には免許証の住所変更手続きを忘れないようにしましょう。
初回更新者講習の人がその都道府県内のどこの窓口で手続きができるかは、それぞれの都道府県で異なります。運転免許試験場でしかできないところもあれば、警察署でもできるところもありますね。詳細は更新時期の直前に送られてくる通知はがきに記載されるので、それがきちんと手元に届くように、住所変更の手続きは怠らないようにしましょう。
なお、怠って通知はがきが届かなくても、更新手続き自体はできますし、手続きの際に住所の変更手続きを同時にすることもできます。住民票の写しなど、現住所の証明書類を持参しましょう。ただ、通知はがきが手元に届かないと、いつにどこの窓口に行けばいいのが判らず、各都道府県の警察のホームページで自分で調べないといけなくなります。

そんなことはないですよ。