海外の免許に書き換えする場合、日本の免許は無効、もしくは無くなり

海外の免許に書き換えする場合、日本の免許は無効、もしくは無くなりますか？ ちなみに書き換えようとしている国はニュージーランドです。

なくなりませんよ。
ニュージーランド在住23年です。
ニュージーランドの免許証を所持しています。
こちらは日本の免許証からの書き換えです。
ニュージーランドの免許証と日本の免許証の2国の免許証を所持しています。

海外に在住していたなどの理由で更新手続き期間内に更新手続きを行わなかった日本の免許は、有効期限の到来を以て効力を失います。
書き換え(外国免許への切り替え)を以て失効するわけではありません。
なお、失効から３年以内で帰国してから１ヶ月以内に再取得する場合は海外に居たことをパスポート等で証明することにより学科試験と技能試験は免除となります。
また、外国免許の発給国(此処ではニュージーランド)に３ヶ月以上滞在した者が当該外国免許が有効なうちに日本の免許に再切り替えする際は、日本での免許歴を有している場合は(効力の切れた日本の免許証を提出することにより)知識確認(学科試験)と技能確認(技能試験)は免除となります。
参考までに

昔のフランス等では、フランスの免許へ書き換えすると日本の免許は回収されるので、在仏日本大使館のHome Pageｇにも注意書きが載っていましたが、今はありません。在新日本大使館のHome Pageには注意書きは載っていません。
在新日本大使館のHome Page
https://www.nz.emb-japan.go.jp/itprtop_ja/index.html

他の国に日本の免許を無効化する権限はありません。
ただ一部の国では免許証を回収されることもあるようです、その場合でも日本の免許は有効なので紛失による再交付はできます。