運転免許証の裏面に間違えて新しい住所を手書きで書いてしまいました。まず

運転免許証の裏面に間違えて新しい住所を手書きで書いてしまいました。
まずいですか？

故意なら有印公文書偽造です。
その記載を使って何らかの契約を行うと行使になってかなりやばいことになります。
自分で消そうとするのも免許証を傷めたら損壊になるのでやめたほうが良いですね。素直に再交付手続きを取りましょう。

まずいです。法的には「免許証の棄損」にあたり、再交付申請が必要な状態です。
ただし、実際は更新手続きの時に叱られる程度で済むでしょう。私もそうやって、若い頃に叱られました(苦笑)。

警察署や免許センターに行ってきましょう。
警察の判子がなければ無効になるだけですよ。