日曜日に免許が更新できるのは、県内一カ所しかない運転免許センターだけど、なら

日曜日に免許が更新できるのは、県内一カ所しかない運転免許センターだけど、ならば田舎の住民は、はるばる何時間も掛けて免許更新に来るの？

日曜にしか時間が作れないなら、そうするしかないでしょうね。
各都府県の警察の考え方は、「我々は限られた税金で動いており、無駄な支出はできない。それを調整して、各都府県内の最低どこか一か所で日曜にも更新ができるようにしたから、本当に日曜にしか来られない人はそれを利用してくれ、できない人は『これまで通り』平日に最寄りの更新窓口に来てくれ」でしょう。
私が免許を取得した昭和の終わりごろは、まだ日曜更新が行われていなかったので、更新手続きのために平日に休みを取る必要がありました。私の住む福岡県では今も、県内4か所にある試験場全てが「毎週」日曜更新をしてくれる訳ではなく、試験場ごとの「持ち回り」開催で、個々の試験場では以前は月イチ開催(今は一部で月2開催)でした。

今まではそうでしたが
近い（管轄外ですが）警察署で日曜日も更新できるようになりました。

はい。

そういうことになります。
確か埼玉県の場合、日曜日の更新が出来るのは鴻巣運転免許センター1ヶ所のはずです。
https://www.police.pref.saitama.lg.jp/f0110/menkyo/kousin-kikan.html

､免許取得時は
前乗りしないと間に合わないので前日に宿泊して行く人が多いです。
はるばる遠くから訪れます。
更新だけなら
最寄りの警察署に行けば良いです。

そうです。県内でも泊まりがけになる人もいます