普通車免許を持っており、現在普通二輪に通ってます。普通二輪を教習所で

普通車免許を持っており、現在普通二輪に通ってます。
普通二輪を教習所で終えたら、警察に免許を更新しにいくのでしょうか？
警察では、すぐに書き換えしてくれますか？

併記と言いますが、免許を更新ではなくて２輪免許を追加します。
その際、２輪免許を追加したときから新たに免許の有効期限がリセットされます。
併記の際の時間は混み具合によりますが、ザックリ午前中いっぱい程度に考えたほうがいいです。

免許センターではないのですか?
私は普通免許を持っている状態で(当時の)中型二輪教習を卒業し
卒業証明書と元の免許証を持って運転免許センターへ行き
視力検査後に自動二輪が追加された新しい免許証を貰いました。

普通二輪のコースが終わって卒業証書をもらったら自分の住民票のある市区町村の管轄の運転免許センター（地域によっては免許課のある警察署）に行って卒業証書を持って併記手続きを行ってください。その手続きが終わると普通自動二輪の免種が併記された運転免許が交付されます。