免許証の住所変更について。去年の12月の終わりごろ、引越しをしました。す

免許証の住所変更について。
去年の12月の終わりごろ、引越しをしました。すぐに転入届は出したのですが、免許証の住所変更を忘れていました。
2週間以内に変更しないと罰金があるようなのですが、変更する際、引っ越してからどれくらい経過したかを伝えなければならないタイミングはありますか？もしかしたら、忙しくてあと1ヶ月くらい先になってしまうかもしれません。
そして、引っ越した区の警察署でなければ手続きは出来ないのでしょうか？別の区の警察署の方が住んでいる場所に近いので、もし可能ならそちらに行きたいです。
わかる方、教えていただけると嬉しいです。

期限も罰金もありません。
普通に住所変更するだけで大丈夫ですよ。
転入届を出しているなら住民票（個人番号の記載無し）を取って行けば大丈夫です。
手続きする警察署は、同じ都道府県内ならどこでも大丈夫です。

「速やかに」変更するように書いてあるだけで、具体的に何日以内と言う決まり事はありません。
確かに、免許証の記載事項を速やかに変更しなければ「二万円以下の罰金又は科料に処する」って書いてあるけど、免許の記載事項の変更手続きを怠ったから罰金（または科料）を取られたって話は（処分を受けたって話は）聞いたことが無いです。
https://elaws.e-gov.go.jp/document?lawid=335AC0000000105#Mp-At_94
https://elaws.e-gov.go.jp/document?lawid=335AC0000000105#Mp-At_121

引っ越し先の警察署で免許証と新しい住所の住民票を出すだけでよかったですよ、たしか。
私も2週間以内には行けなかった気がしますが罰金は取られてません。
車検証の住所変更は15日以内と決められてるようですが、免許証にはハッキリとした期限がないと書かれてます。
https://www.zurich.co.jp/car/useful/guide/cc-adress-change-driving-license/#anc-01

引っ越し先の警察署でしか手続きは出来ないと
思いますよ 月日が経過してるので転送された
郵便物などでは証明にならない可能性も有ります
最寄りの警察署に問い合わせてからいって下さい
二度手間にならないように。