半年前に引っ越してきて以来免許の住所変更をしていないのですが、

半年前に引っ越してきて以来免許の住所変更をしていないのですが、更新のタイミングとかぶってしまいハガキが届いてしまいました。
この場合、住所の変更をしてから改めて免許更新に行くのが正しいのでしょうか？
免許更新の際についでに住所変更もできるのでしょうか？
また、前に登録済み住所の管轄の免許センター(県内の)または警察署に出向かないといけないでしょうか？
アドバイス頂けたら幸いです。

質問者さんはすでにご自身の住所変更はお済ですよね？
もしそうなら更新と免許証の住所変更(記載事項変更)は
同時に出来ます。
方法はまず現在住んでいる所の役場で住民票の写し(コピーは不可)を
発行してもらい準備する。
それを持参して運転免許センターに行き更新窓口で住所変更があることを伝える
そうすれば更新された新しい免許証には変更された住所が記載されます。
又住所変更を証明する書類は住民票の写し以外でも良いです
(例＝現在の住所が記載されている公共料金の領収書、公的機関が
発行した物。)

更新のついでに住所変更も同時に可能ではありますが、14日以内に速やかに変更する様にとなっていますので、なるべく早く手続きされた方が良いでしょう。
確率は低いでしょうが二万円以下の罰則金もあります。
免許センターは混むので、事前に最寄りの警察署で住所変更手続きをされた方が良いかと思います。(手数料:なし)
地域によっては交番での手続きも可能だそうですが、ICチップのデータ書き換えは免許センターか警察署のみとなります。
引っ越し前の管轄での転居届け的なものは不要ですよ。
免許証と住民票か公共料金等の郵便物と地域によっては印鑑がいる様です。
ご参考までに…
https://www.ins-saison.co.jp/otona/oshiete/car/license-addresschange.html#:~:text=%E4%BD%8F%E6%89%80%E5%A4%89%E6%9B%B4%E3%81%AA%E3%81%A9%E3%81%AE%E8%A8%98%E8%BC%89%E4%BA%8B%E9%A0%85%E5%A4%89%E6%9B%B4%E6%89%8B%E7%B6%9A%E3%81%8D%E3%81%AF%E3%80%81%E6%96%B0%E3%81%97%E3%81%84,%E3%81%A0%E3%81%91%E3%81%A7%E5%AE%8C%E4%BA%86%E3%81%97%E3%81%BE%E3%81%99%E3%80%82

更新の時にもできますが混雑してると思うので手続きする窓口が増える分当日のめんどくささが増えます。先に管轄の警察署に行って住所変更しておくのが良いと思います。そうすれば当日は流れ作業の視力検査と講習だけで済むので。

更新申請の際、住所の変更はありませんか？と聞かれるので、住民票を提出しましょう。