教習所卒業の時に渡された運転免許申請書の電話番号が誤りだと気づいたのですが

教習所卒業の時に渡された運転免許申請書の電話番号が誤りだと気づいたのですが、これは教習所に連絡すべきでしょうか、それとも免許センター側で対応できますか？

自分で対応可能なことなので、わざわざ他人にどうこうして貰う必要はないですよ。そもそも、運転免許申請書は申請する本人が整える書類ですしね。
一般的な公的書類の訂正方法に従い訂正しましょう。間違った箇所を二重線で取り消し、近くに正しい情報を書き、持っていれば訂正印を、無ければ三文判などでいいので押印をします。