普通免許を取りたいのですが、卒業検定と学科(ペーパー)試験の違い

普通免許を取りたいのですが、
卒業検定と学科(ペーパー)試験の違いはなんですか？
自分が行こうとしている車校は公認校らしく、住民票と違うところでも大丈夫らしく、卒業すると筆記テストだけになる(住民票のある試験場で)と言われたのですが、
公認校で運転の試験があって、別で筆記のテストを地元に戻ってやらないと免許を取れないということですか？

その通りです。
免許を取得するには「技能試験」「学科試験」「適性試験」の3つに合格する必要があり、取得できるのは住民票が置かれている都道府県のみです。
公認校を卒業すると1年間は「技能試験」が免除されるので、住民票の置かれている免許センターなどで「学科試験」と「適性試験」を受ける必要があります。

自動車免許習得には、技能試験、学科試験の両方を住民票のある地区の運転免許試験場で合格する必要があります。
教習所の卒業検定合格は、運転免許試験場での技能試験を免除する役割があるのです。
質問者の場合、技能面は今住んでいる所の近くの教習所で大丈夫ですが、住民票は実家なので、学科は地元の運転免許試験場で受ける必要があります。
今住んでいる所の近くの運転免許試験場で受ける為には、住民票を移す必要があります。