車を買い替えてすぐに引っ越しをしました。そのため免許証がまだ旧住所のままで

車を買い替えてすぐに引っ越しをしました。
そのため免許証がまだ旧住所のままです。
陸運局？で車検証の住所変更をする必要があるかなと思いますが、
①まず免許証の住所変更
②車庫証明ゲット(免許証が必要)
③車検証の住所変更(車庫証明が必要)
この順序でやっていけばいいでしょうか？

いままで何度か引っ越しましたが車検証の住所を変えたことありません。
郵便物の転送書けておけば自動車税の納付書は届きます。
届いた納付書に郵送先住所変更のやり方が書いてありますので、その住所さえ変更しておけば翌年からは新住所に納付書は届きます。
車検時や売却時にもなんら問題はありませんでした。

概ねそれで大丈夫です。
もう少し詳しく説明すると、車庫証明の手続きに約1週間は掛かります。
警察署へ免許証の住所変更をして、車庫証明の書類を貰って必要事項を記入をします。
駐車場を借りてる場合は借主様に記入して貰う欄があります。
ですので、車庫証明の提出と、車庫証明を受取りに行くにの最低でも２回は警察署へ行く必要があります。
車検証の住所変更に必要な書類を整えて、車庫証明は発行から1ヶ月以内となっていますので注意はして下さい。
自動車税も変更内容を申告も必要ですので、これらが全て手続きが終われば無事に住所変更が完了となります。