北海道で運転免許証を警察署で更新する場合、交付までに数週間かかるようなので

北海道で運転免許証を警察署で更新する場合、交付までに数週間かかるようなのですが
その間は運転出来ない（無免許状態）になってしまうのでしょうか？

警察署で更新する場合は後日今の免許証と引き換えに新しい免許証を交付されます。
そのため手元に免許証がなくなることはありません。
更新忘れの場合、6ヶ月以内なら適性試験と講習で取り直すことができます。
この場合は更新ではなく試験になるので試験場に行く必要があります。

＞＞子育てなどで忙しく、更新の期限が過ぎているのですがそれでもできるのでしょうか？半年はすぎていないです。
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となると、更新手続きとは別の手続きつまり｢取り直し｣ですね。
但し、有効期限の翌日(効力を失った日)から6か月以内なら学科試験や技能試験を受ける必要が免除(教習所に通い直す必要も無い)
警察署では手続きは出来ないので、貴女のお住まいの地域を受け持つ試験場(札幌、函館、旭川、帯広、釧路、北見の何れか？)での手続きとなるだろう。
なお、効力を失った免許で運転したら｢無免許運転｣となります。

「その間は運転出来ない（無免許状態）になってしまうのでしょうか？」
手元に有効な免許が無い状態で運転すると「免許不携帯」になります。
更新については、最初の手続きで更新できたことになります。
（適正検査（視力検査）に合格し、書類を提出した段階で、公安委員会は速やかに審査を行い免許証を更新しなければならない）
もし、この段階で手元にある旧免許証の有効期限が迫っている場合、免許証の裏に「免許証更新手続き中」「有効期限〇月〇日まで」と、更新手続きをしている旨を記載したハンコと、新免許ができるまでの期間にチョット余裕を持たせた期日まで有効期限を延ばしてくれます。
もし、延ばしてくれた有効期限内に新免許を取りにいけず、その期限を超えて運転したとしても、新免許は警察署にはあるわけですから（運転する資格を失っている訳ではないですから）、有効な免許を携帯せずに運転したと言う事で免許証不携帯になります。

免許証の裏に更新手続き中である旨が記載されて新しい免許証が来るまでの期間運転してもいい様になる。

即日交付ではない場合は免許証裏に「更新手続き中」で有効期限延長のハンコを押されます(下図参照)ので、少なくとも延長期限内であれば無免許運転にはなりません。
他の回答者さんへの返信から、有効期限が切れてしまっているようですが、有効期限が切れている場合は既に免許証が「失効している(運転資格がない)状態」ですので「更新手続き」はそもそも出来ません。
この場合は「更新手続き」ではなく「失効手続き」になります。
但し失効手続きにより免許資格を回復(新規取得になる)場合でも免許証が交付されるまでは冒頭の回答の場合と同様に古い免許証の裏に「更新手続き中」の印鑑が押されて有効期限が延長される形となります。
https://www.police.pref.hokkaido.lg.jp/guide/menkyo/menkyo2-2.html
有効期限延長の印(一例) ↘