運転免許の更新忘れの半年以内について質問です。警察署のHPには

運転免許の更新忘れの半年以内について質問です。
警察署のHPには失効から6ヶ月以内なら学科試験と技能試験なしで更新できる。とあります。
この6ヶ月の起算日なのですが、
12/5が誕生日の場合、12/5から6ヶ月以内の6/5までですか？
それとも、1/5から6ヶ月以内の7/5までですか？

失効した日（期限の翌日）が起算日です。有効期限が2023年1月5日（木）なら、1月6日に失効し、それを起算に7月5日までが6ヶ月間です。
ただし、仮に期限が2023月1月7日（土）だった場合は、翌平日の1月10日（火）まで更新できるので、失効は1月11日になり、2023年7月10日までが6ヶ月間になります。

12/5が誕生日なら免許証には1/5まで有効と記載されてます。
そこから6ヶ月の7/6になります。
失効した免許は更新ではなく再取得です。

多くの回答者さんが述べているように7月5日の解釈で良いでしょう。
更新ではなく再交付申請となります。免許証番号の下1桁が1となります。再交付申請が1度目なら1となり、2度目なら2となります。（過去に再交付申請をした事が解る仕組みとなっています）

運転免許証に記載されている有効期限から6ヶ月以内
質問の場合運転免許証有効期限が1月5日と記載されているなら
7月5日まで。
余談ですが運転免許証が失効すればもう通常の更新は出来ません。
期限切れ手続（特別新規申請）をして免許証の再取得になります。

失効から6ヶ月と書いてありますので、
失効するのは1/6ですよね。
ですから、7/5までですね。
ちなみにこの手続きは更新ではなく
再取得となります。
ですから更新料を払うのではなく試験料を
払います。複数の免許を再取得するのであれば全ての試験料が必要になります。

「更新」ではなく、「再取得」です。
期限が切れている以上、「更新」はできません。