免許証の更新の際、持ち込み写真の場合は免許センターに行かないといけません

免許証の更新の際、持ち込み写真の場合は免許センターに行かないといけませんか？警察署でも更新出来るのでしょうか？

運転免許の更新手続きは各都道府県で異なります。
例えば、東京都では警察署で更新手続きを行う場合も、運転免許証の写真撮影が行われますので、持ち込み写真での運転免許証作成は運転免許試験場のみとなります。
一方、大阪府の警察署では写真撮影を行いませんので、警察署で更新手続きを行えば、必然的に持ち込み写真による免許証となります。
お住まいの都道府県の更新手続きの案内を確認してみてください。
警察署の更新手続きで、申請用写真が必要なものとして記載されていれば、その写真で運転免許証が作成されると考えてよいでしょう。
ただし、再交付を伴う場合は再交付申請に写真が必要ですので、あくまで更新手続きに写真が必要かどうかを確認してください。
大阪府
https://www.police.pref.osaka.lg.jp/tetsuduki/untenmenkyo/5/3713.html
「写真1枚：（警察署で更新手続をされる方のみ必要。門真運転免許試験場又は光明池運転免許試験場で更新手続をされる方は不要です。）」→持参する写真で運転免許証が作成される
東京都
https://www.keishicho.metro.tokyo.lg.jp/menkyo/koshin/koshin/koshin04.html
必要なものとして、写真が記載されていません→警察署で撮影するということ

都道府県に、よって対応は違いますが、即日もらいたいなら免許センターしかありません。

お住まいの都道府県によって対応が異なると思いますが、警察署での更新で「持込写真対応」の都道府県は聞いたことがありませんので、恐らくは警察署では無理かと思います。
ちなみにお住まいはどちらの都道府県になりますか？

大抵は免許センターではその場で直接撮って、警察署では持ち込みかと思います。