普通二種免許を教習所で卒業して学科試験を受けに行きたいのですが免許更新の時期

普通二種免許を教習所で卒業して学科試験を受けに行きたいのですが免許更新の時期と被っています。どちらを優先した方がいいですか？
どちらが先でもいいですか？

どちらが先でも良いです。
但し誕生日が過ぎてから有効期限までの間にしてください。

更新手続きは敢えて行わず、(念のため)誕生日の翌日以降有効期限迄に試験に合格するのがベスト！

更新してからだと、更新手数料を丸々払ってから併記の料金も丸々掛かります。
併記をすると更新と同じなので、併記の料金だけで済みます。
ただし、更新日3日前に併記すると、そこから更新年誕生日までが1年になります。
なので、誕生日の後1ヶ月以内に併記に行くのがいいと思います。

普通二種を取ればその日から3回目又は5回目の誕生日の免許が交付され、更新手続きは不要になります。
急がないなら誕生日後に行くと３年又は5年の免許が交付されます。
誕生日前だと直近の誕生日で1回目の誕生日になるので、2年又は4年の免許になります。