運転免許証の更新について。今運転免許の更新時期なのですが、ちょうど

運転免許証の更新について。
今運転免許の更新時期なのですが、ちょうど期間の始まりのあたりで引越しをしたため引越し後に引越し前の都道府県から運転免許更新の案内が転送されて来ました。
もうすでに転入届も済ませて免許の住所変更も済ませているので、前の都道府県の案内を持って今住んでいるところの試験場等に行って更新できるのでしょうか？

できます。
住民登録は市町村の管轄で、運転免許を管理する警察は都道府県の組織です。よって、役所で転居の手続きをしたからと言って、運転免許の住所が自動的に追随して変わることはありません。しかし、質問者さんは免許の住所変更も済ませているとのことなので、このまま新住所の都道府県で更新の手続きが取れます。逆に、旧住所の都道府県では更新はできなくなっています。
届いた葉書は旧住所の都道府県での案内になっていますので、そのままでは新住所の都道府県では使えませんので、どこが窓口でいつ行けばいいのかは、その都道府県の警察のホームページなどで調べる必要があります。通知はがき自体はなくても更新はできます。ただし、通知はがき自体は受けるべき講習の種別の判断に使えるので、異なる都道府県の窓口であっても持参したほうがいいでしょう。

現在お住まいの警察署に行って住所変更の手続きをしてその窓口で問い合わせてください。

勿論できますが一度最寄りの警察署か交番にでも聞いてみてください
確認してください