初回免許更新があります。免許証記載住所ではないところ（県外）

初回免許更新があります。
免許証記載住所ではないところ（県外）に住んでいますが、
免許証記載住所の管轄免許センターで更新をしようと思っています。
この場合、現住所（県外）のわかるもの（健康保険証）を持って行けば、同時に住所変更も出来ますか？
現住所地で更新しないとダメですか？
更新後に警察で住所変更に行くのが面倒なので、
一度に出来ればと思い質問しました。
よろしくお願いします。

更新手続きは、免許証に記載された住所の都道府県でしかできません。また、住所の変更手続きは、新住所の都道府県でしかできません。よって、現住所がA県、免許証記載住所がB県の人は、B県で更新手続きだけをするか、A県への住所変更を行ってから(あるいは同時に行う前提で)A県で更新手続きを取るか、の二択です。
質問者さんが言う、B県で更新手続きとA県への住所変更を同時ににすることはできません。A県への住所変更と更新手続きを同時にしたいなら、A県の窓口に行く必要があります。