免許証の前面の住所が現住所であるのにも関わらず背面に手書きで住所を書い

免許証の前面の住所が現住所であるのにも関わらず背面に手書きで住所を書いてしまったのですが、この場合警察で公印を押してもらうべきでしょうか?

運転免許証はあなたの私有物ではありません。
角都道府県の公安委員会から、あなたは単に預かっているだけです。
他人からの預かりモノに勝手に落書きをしてはいけません。
警察署の交通係の窓口に行って、適正な指示を受けてください。
おそらくは免許証を汚したということで、再発行になるでしょう。
なお、新しい住所を証明する「住民票の写し」なども持参しましょう。
とにかく、あなたについては住所変更は何もできていないのですよ。

勝手に書いては駄目なので公印は押されません。
毀損扱いになるので警察署か運転免許センターで再発行に
なります。手数料がかかります。
その時注意されるかも知れません。

いいえ。毀損により再交付申請が必要な状態です。任意の手書き内容を、公印で有効化することはてきません。