引越して住所変更したら運転免許証の裏面に住所記載するが、表面の旧住所が

引越して住所変更したら運転免許証の裏面に住所記載するが、表面の旧住所が嫌いで裏面の新しい住所を表面に出したいなら、免許センターで新たに免許証を発行して貰えますか？

再交付手続きをすれば可能です。
下記は警視庁の例ですが、「再交付手続ができる方」の例示として、
~ 運転免許証の裏面に記載されている内容を表面に表示をしたい方（すでに住所、氏名を変更している方、旧姓を表記している方、又は運転免許の条件を変更した方）
~ これから氏名、住所を変更する方、旧姓を表記する方、又は運転免許の条件を変更するにあたって、変更内容を表面に表示をしたい方
と説明されています。
https://www.keishicho.metro.tokyo.lg.jp/menkyo/koshin/saikofu01.html

はい、原則として可能です。
ただ、都道府県により対応するか、しないか、断定が出来ませんので、お住まいの都道府県の免許証の再交付ページで確認してみることをおススメします。