来年の免許更新まで違反がなければコールドのハズだったのですが

来年の免許更新まで違反がなければコールドのハズだったのですが、バイクの免許を取得したところブルーのまま五年更新されてしまいました。
免許証に添えられた紙には色、期間に不服がある場合は連絡ください的な事が書いてありますが、このような場合に対処してくれるということなのでしょうか？

不服を申立てたところであなたがちゃんとルールを確認しないで併記したからでしょと言われるだけです。
本来不服申立てって例えば違反してないのになぜかゴールドじゃなくてブルーにされたみたいなときにするものですよ。

不服を主張するのは可能ですが、「ゴールド免許の条件を満た前に併記しなければ良かったのに」と言われるだけになりますね。

バイクの免許を取得した時点で違反から5年40日以上経過していればゴールドになりますが、その期間を経過していなければブルーのままで、逆にゴールドになる時期が遅くなることもあります。
あなたがバイクの免許の取得時期を間違ってしまったということで不服を申し立てる対象にはなりません。

バイクを併記した時点で免許を保有しつつ無事故無違反５年以上が達成されていたなら何ですが、そうでないならクレーマーです。