免許の本免って1年以内に受からなきゃいけないと思うんですが、それ

免許の本免って1年以内に受からなきゃいけないと思うんですが、それって1年後の同じ日もありなんですか？
例えば2020年8月10日に卒業したら2021年8月10日に受けるみたいな感じです。

アウトです。卒業証明書の有効期間の1年間は、発行日が起算日です。つまり、例えば2020年8月10日の発行された卒業証明書なら、2021年8月9日までが有効期間で、10日は失効しています。
法律上の「一年間」と「一年後」は違います。また、例えば免許取得から「1年間」の初心者期間には初日を含みません(起算日が取得翌日です)ので、一年間が指す日付の範囲も変わります。注意が必要です。

教習所の方からは、１年後の同じ日付の前の日と教わりました。
質問文のケースだと、２０２１年８月９日までです。

いいえ。
卒業証明書に記載されている発行日から数えて1年間ですから、有効期限は翌年の同日の前日までです。

卒業証明に期限日が記載されていると思います。
その日にちを過ぎれば無効になります。

卒業証明書に期限書いてると思いますが？書いてないんですか？