県外に引っ越しをしてから半年がたちました車のナンバープレートと車検証の住所

県外に引っ越しをしてから半年がたちました
車のナンバープレートと車検証の住所を変えずに、引越し先で車検を受けました
車庫飛ばしになるため、車検証の住所は変えなければならないと最近知りました
前の車検証はなくしてしまいました…
これからどのような手続きをしていったら良いのでしょうか
回答お願いします

警察署で「車庫証明」を取る。
陸運支局へ行って車検証の住所を変える。

車検を通したんですよね。
で、新しい車検証は手元（車の中）にあるんですよね。
これが無いのですか？
前の車検証というのは何？
車検を通したら、前の車検証は回収されて、新しい車検証だけになります。
その住所はどうなっていますか？

あと、今後の事ですけど、この先、そこに住み続けるのでしょうか？
それとも近いうちに引っ越しますか？
それで考えればいいと思いますよ。

厳密には車庫飛ばしになりますけど、きちんと駐車場が確保できていれば問題にはならないでしょう。
その代わり、駐車違反には注意した方が良いです。
手続きは、今住んでいる所の駐車場で、車庫証明を取る事から始まります。
少しお金はかかりますけど、車屋さんに丸投げすることが多いですけどね。
最近は車屋さんも行政書士に依頼するところもあって、行政書士を探して聞いてみてもいいかも。

ぶっちゃけ、占有できる駐車場が確保できているなら急がなくてもokです。
路駐してたら摘発されます。
https://kinto-jp.com/magazine/k20230303-1/

前の車検証という意味が分かりませんが、車検を受けてからもらった車検証を無くしたのなら元の住所の陸運局で再発行してから新住所で車庫証明と住民票を取って新住所の陸運局で住所変更とナンバー変更です。