タイヤのサイズについてですが、メーカーサイズが155/70R13です。

タイヤのサイズについてですが、メーカーサイズが155/70R13です。155/65R13だと、若干外径が小さくなりますが使用に問題ないでしょうか？メーター誤差も大丈夫ですか？
沢山出ているサイズで値段が安いので、使用可能なら、そのサイズでいきたいのです。
宜しくお願いします。

可能ですが、コストカットが狙いなら、145/80R13の方が流通量が多く安いです。外径もこちらが近いです。
店頭販売でもそのサイズで変更勧めてます。

メーター誤差は大した問題じゃありませんが、
問題はロードインデックス値です。
155/70R13は75。
155/65R13は73。
原則、使用不可だと思ってください。
155/70R13が純正装着タイヤだとしたら、
155/65R13にしてしまうと車検不合格になると思う。
タイヤのエアを荷重値クリアするために
エアを高く（その設定値まで）入れるという対処法は
あるものの、常に空気圧を気にしないといけないし
こういう使い方はおすすめしません。
155/70R13は確かに銘柄は155/65R13よりも若干少ないですが
入手出来ないほど少ないわけではないです。
価格はどちらもほぼトントンですよね。

・155/65R13は、155/70R13と比べて外径が約16mm小さくなる事。
・乗り心地がほんの少し硬くなり、
車高がわずかに低くなる。
・外径が小さくなると、スピードメーターの誤差が生じ、
155/65R13の場合、スピードメーターは実際よりも約3%速く表示されます

・155/65R13は、155/70R13と比べて外径が小さく、乗り心地や車高にこだわるなら155/70R13をお勧めします。

タイヤサイズ変更 早見表で調べてみたらよいと思います。
https://www.tiresize.net/rim/rim.htm#google_vignette

外径差２％程度なのでスピードメーターの誤差は大丈夫だと思います。
既出のようにロードインデックスが下がるので空気圧を標準より高くする等の対策は必要になるとは思います。