安い前方だけのドラレコです。二万しなかったくらい。車のエンジン切っても

安い前方だけのドラレコです。二万しなかったくらい。車のエンジン切っても画像や音声記録しているものですか？

値段とは関係なく、駐車監視機能という機能がついているかどうかです。
まあ、電源をシガーソケットとかからとっている場合は、そもそも駐車中には電源カットされるので、バッテリー内蔵型でもなければ無理ですし、２万程度でそういうものはないでしょうけど…
というわけで、可能性としては駐車中には録画されていない可能性が高いですが、詳しくは実際に機能を確認することです。
すでに手元にあるのなら、録画データを見てみればいいとは言えるでしょうけど。

別売りの電源セットを使ってなければ、駐車モードで本体のバッテリー使って５～１０分程度で切れると思います
私は純正電源セットが+６千円程度かかるため（部品代のみ）、エーモンの
タイマー付きシガーソケット（２千円くらい）を使って通常録画モードで使ってます、タイマーは３０分か６０分を選べますが私は３０分で使ってます
電源はヒューズボックスのACCのヒューズ（取説見て）のバッテリー側から、電源取り出し用ヒューズ（電源取り出し線付き）使って配線すればエンジンを切って車から離れてもバッテリーが上がらず便利です
どちらもオートバックスやジェームス、イエローハットなどで売ってますから
自分で配線すれば安く済みますよ

それ、記録を再生してみれば？。
で、エンジン切った後も録画されているか確認すればいいだけですよ。

そういうものあるしそうでないものもあります。

駐車監視機能に対応した機種なら録画可能だけどオプション配線がないとできない機種もある

駐車時監視機能が付いていれば記録していますね。自分のやつはエンジン切っても内蔵バッテリーの充電がある間は記録してくれる。