市の移動を伴う引っ越しをした際、車の車検証の住所を変更しよう

市の移動を伴う引っ越しをした際、車の車検証の住所を変更しようと陸運局に行こうと思っているのですが、車検証の住所を変更した場合、自動的に自動車税の住所も変わるのでしょうか。

変更登録の手続きの流れで、最後に税申告の書類を提出します。
そこで変更になります。自動では変更されません。

余談として。
軽自動車の場合、住民票を移すことで納税通知書が新しい住所地に送られてきます。
これは、あくまで納税地は旧所在地のままで、納付書の送付先が変更されただけです。
きちんと手続きをして、住民票の置いてある市町村に納税するようにしてください。

自動的には変わらないけど、一緒に手続するから実質的には自動と言っても差し支えないかも
https://kepco.jp/service/move/article_car/#out04-2

車検場で移転登録を行う場合に税申告などの手続きも一緒にやる。