最近引っ越したばかりで運転免許の住所変更をしていない状態なので

最近引っ越したばかりで運転免許の住所変更をしていない状態なのですが、このまま車を運転するのは問題ありますか？

ええ、運転免許証の記載事項変更を怠る行為は違法で、法定刑で2万円以下の罰金または科料が科される犯罪ですからね。違法な状態を「問題が無い」とは言えません。
もっとも、違法とは言えその程度のことで刑事犯罪者として検挙されることは、指定暴力団やカルト宗教団体の関係者など、公安警察の監視対象者でなければ、まずありません。
警察からの連絡文書が届かないだとか、免許証を紛失した時の再交付申請が面倒になるだとかの「不都合点」がいくつかありますが、それで困るのは本人であって、警察や他人が困る訳ではありません。それらを甘受できると言うのであれば、好きにすればいいと思いますよ。