昨日、車に乗ろうとしたらエンジンがかかりずらくしかもエコアイドルマ

昨日、車に乗ろうとしたらエンジンがかかりずらくしかもエコアイドルマークが点滅していて液晶画面にもエコアイドルが故障しましたと表示され、前日まで普通だったのに急に出たのでおかしいと思い調べてみたところ
バッテリーが老化すると出るという事だったので今週の土曜日にバッテリー交換をしに行きますが、車のエンジンがかからない事や、走行中にエンストとかありえますか?
仕事場が山の方にあるので行きは上り坂、帰りは急な下り坂が続くのでいつもエンジンブレーキを使って減速しているのですが使っても大丈夫でしょうか?
また上り・下り坂でエンストした場合どう対処すればいいのでしょうか？帰りは下り坂がずっと続くので怖いです。車はATです。

エンジンが掛かってしまえばエンストするようなことは無いと思います。エンジンブレーキ等も掛かってしまえば問題はありません。
出先でエンジン停止後にかからなくなる方が問題です。その場合はブースターケーブルで他車と繋ぎ、エンジンをかけるか、バッテリーを交換するしかありません。
この時期は冷え込みがきつく、昨日まで掛かっていたエンジンが、急にかからなくなることもざらにあります。バッテリーが劣化していると冷え込みによる影響はより大きくなります。
できることなら本日中に、遅くとも明日までにバッテリー交換した方があんしんです。

走行中のエンストは無いでしょうけれど
エンジンがかからないのはあるかもしれません。
走行の仕方は影響しません。