親が80歳という事でマツダのデミオを頂く予定にしてます。2014年

親が80歳という事で マツダのデミオを頂く予定にしてます。2014年式 11年間 走行距離 6万キロ走ってます。
私は 買い物行くぐらいで高速道路も乗らないし そんなに運転は しません。
このまま乗り続けても大丈夫でしょうか？

特に問題無いと思います。
車齢も10年そこそこで距離も6万キロ。
私なら何も気にせず乗ります。
今、私が乗ってる車は買った当時(5年前)で16年落ちで5万キロ。
前オーナーの素性も分からないし、メンテナンス具合も分からない物を遠方から現車確認せずに買いましたが、今でも調子良く乗ってます。
貴方の場合、先の回答者さんが仰る様に、親御さんはディーラー等で面倒見てもらっていた可能性が高く、また親ですのでどの様な運転をされてたのかも大体想像つくでしょう。
要らないなら私が欲しい位です。

経年劣化するものは交換ですが、走行距離で交換するものは10万キロぐらいから出始めるのでまだ大丈夫です。
アイドリングストップ車だとバッテリーが高価で、4万近くします。

「大丈夫でしょうか？」の意図は？
故障とかしないか？という意味ならば、「どれだけメンテナンスにお金をかけるか？」しだいです。
ディーラーの言いなりになる必要はないですが、必要なところにはお金をかけてメンテナンスしていかないと、乗れる車も乗れなくなります。
11年で6万km走行、年数の割には走行距離は「やや少ない方」ですね。
それでも「走っていなくても、年数で劣化していく部品」はあります。ゴム系・樹脂系パーツが主ですが、例えばラジエータホース、ブレーキホース、ドライブシャフトブーツ、ドアやハッチのパッキンなどなど。
タイヤは2回は換えてるかな？
6万km走行からみると、ブレーキパッドあたりが交換時期になりそうですね。（すでに換えてるかもしれませんが。）
これから2～3年の間に、そういった「やや大物の消耗部品交換」がある程度発生する時期になります。
たぶん、まとめて交換したら、12～15万円、ひょっとしたら18万くらい？かかるかもしれません。
その車両をただで譲ってもらえるのでしたら、それくらいはたやすい範囲と私は考えますね。
あと・・・80歳の人が運転していた車でしょうから、早く言えば「アクセルあまり踏まず、ゆっくりと走行」していた車両だろうと想像します。
そういう車、悪いわけじゃないんですが「あまり走らないクセ」がついてることがありますね。いわゆる「エンジン内にカーボンがたまりやすい状態」になることも多いんで。
譲ってもらってから、しばらく元気に走ると、そういうのは解消できることもあります。
言い方悪いですが「どうせタダ」なのであれば、もらってみて・しばらく走ってみてから考えても良いのでは。

親御さんの使用状況やメンテナンス状況によりますね。
走行距離は年間５千キロ程度ですので、最近まで使用されてたなら、車検時の整備だけでもシッカリとしていれば問題ないレベルです。
私が今乗っいるデミオも状況的には近い（2013年式5万5千Km）ので、アドバイスとしては、タイヤが古くなっているなら、山が有っても交換した方が良いと思いますと言う位です。

80歳の親御さんがユーザー車検に出していたとは思いにくいです。
助手席側のフロント窓の上部に丸いステッカーが貼ってありませんか。
そこに点検日が書いてあると思うのですが、いつになっていますか？
1年以内であれば、そのまま乗ってしまっていいでしょう。
1年を過ぎているのであれば、お近くで12か月点検をオススメします。
車検が1～2か月後というなら、車検の時に点検でも構いません。
もし、丸いステッカーが貼ってないのでしたら、
早めにお近くで12か月点検してもらうことをオススメします。
「運転をやめる」というだけなので、ご健在なのでしょうから、
親御さんに「最後にいつ点検してもらった？」って聞いてもいいですm(_ _"m)

このまま乗り続けても大丈夫でしょうか？
ガソリンなら
P3エンジンの点火系
初期化部品交換を施せば
P3エンジンに関しては問題無し
車体関係
快適装備関係
などは別です