期限を過ぎればもう更新はできません。ただし、失効から6カ月以内であれば、実質無試験で「再取得」が出来ます。手続きは「特別新規申請」と言い、一般的には「失効再取得」や「期限切れ再取得」と呼ばれます。具体的な方法については、現在の住所地の都道府県名に「運転免許 期限切れ」と続けて検索をかけてみましょう。各都道府県警察の失効再取得を案内する web ページが見つかるでしょう。
ただ、質問者さんの話だと、普通自動車の違反で初心種講習を受けないまま失効させているようですから、普通自動車は再試験不受験で取り消されているので、それ以外に所持していた普通二輪?だけの免許が復活可能ですね。