学校を卒業し4月から社会人になります。入社前に健康診断書を提出しなければ

学校を卒業し4月から社会人になります。
入社前に健康診断書を提出しなければいけないのですが、「公的機関のみ」と条件をつけられているため、全く予約が取れません。
自動車免許が必要な職種のため、現在詰めて教習所に通っていることもあり、都合がつきませんでした。
(生徒が多く、教習をズラすと卒検が4月以降に伸びてしまうため)
3月20日の期日までに必着で診断書を送らなければいけないんですが、どうしても無理な気がします。
免許のほうは予定通り進めたとしても期日に間に合わない可能性があるため、それについては後日送付してくださいとの事でした。
しかしさすがに健康診断書も後日送付という形にするのはどうなのかと考えておりまだ学校の先生方に相談出来ておりません。
受診出来そうな診断センター(公的機関ではないかも？)に予約の連絡をしていますが、正直に話すべきでしょうか

就職が決まってるということですよね
この場合は会社に相談しましょう
免許で時間が 目いっぱいのことや検診の予約が取れないことをそのまま伝えましょう
会社側が付き合いのあるクリニックなどに予約の枠を無理やり取ってくれるかもしれませんよ
何も連絡せず 間に合いませんでした というのは絶対に避けなければいけないので
事実をそのまま話して相談しましょう
おそらくは 免許 よりも健康診断を優先するように言われると思います

仕事のできる人は絶対に自分で抱え込みません。
速やかに就職先の人事担当者の方へ電話で確認してください。