オットキャストcartvmateか、ケイヨーの同様品を使ってナビ画面

オットキャスト cartvmateか、ケイヨーの同様品を使ってナビ画面にfire TVの映像を映し出そうと考えています。
ただ、それをすると、車についているHDMIを使ってこれまで後部座席のモニターに映し出していたものが写し出せなくなります。
そこで
firetvから１入力２出力のHDMIの分配器を経由して、１つの出力はこれまでどおり、車のHDMI端子に接続し、もう１つは car TV mateに接続すれば、ナビ画面にも後席モニターにも映し出せると思うんですが、この考えに矛盾はありますか？

現状、HDMI入力の映像を後席モニターに出力できている(後席モニターがデジタル接続されている)構成
であるならば、そのような機器は必要なく
Fire TV StickをHDMI入力に接続するだけです。