親の車と自分の車を交換すると、ナンバープレートも変わりますか？（

親の車と自分の車を交換すると、ナンバープレートも変わりますか？（車庫証明の観点から）
現在埼玉県に住んでいて埼玉ナンバーですが、東京の実家の両親と自分がお互いの車を気に入り実家の車と交換しようと思っています。その際生まれ育った故郷のナンバーを付けたままにしたいなぁと思っています。
しかし私が主に使用する都道府県は今住んでいる埼玉県です。被保険者の名義変更などするのは当たり前ですがナンバープレートも変わるんですかね？

親子関係ならそのまま乗れば良いんじゃないの？

使用者の名義変更をすれば当然本拠地が変わりますので、ナンバープレートも変える事になりますよ。
使用者の変更はせずに所有者のみ名義変更する場合は、本拠地の変更はないものとなりますのでナンバープレートの変更も不要です。

親子での交換で、わざわざ登録し直す人は、聞いたことない。
てか、多分いない。

使用者が変わるのであれば、使用者の住所地を管轄するナンバーに変わります
車庫証明は関係ありません
名義人の住民票が全てです。住民票に従って車庫証明が出ます。住民票に従ってナンバーが決まります。
名義はそのまま、車だけ交換するというのは厳密には大抵の場合車庫飛ばしになりますね
違法です・・・
取り締まられるかどうかは知りませんけど。
保管場所が同じ場所とかであれば問題ないですが。

管轄運輸局が変わるのでナンバーも変わります