うっかり無免許運転について質問です。私は、横断歩道にいる歩行者に気づかなか

うっかり無免許運転について質問です。
私は、横断歩道にいる歩行者に気づかなかったことで、警察に捕まったことで免許更新更新ができていない無免許運転していたことに気づきました。
現在、警察からの書類待ち？の段階です。
この場合、書類が大体どのくらいで届くのか・会社への報告義務があるものなのか分かる方いたら教えて下さい。
自分の管理不足なので自業自得なのですが、子供がいるため、車が乗れないのはかなり不便なので大体の期間が知れたら助かります。

＞＞現在、警察からの書類待ち？の段階です。
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恐らく警察からは書類は来ないでしょう。
無免許運転は「非反則行為｣、つまり刑事(道路交通法違反)事件として扱われるので、警察の捜査を経て検察庁に送られ、そこで実際に刑事裁判に付す(起訴する)かどうかが判定されます。
…但し明らかに故意性や悪質性がなく、交通事故による人的被害等が発生してない場合は刑事責任(３年以下の懲役又は50万円以下の罰金)までは問われなかったケースが多いです。
またそれとは別に(ほぼ同時並行で)行政上の問責として貴方に対して違反点数(無免許運転は25点)が付され、最短でも２年間免許が与えられない(門前払いとなる)欠格期間が設定されます。
処分が決定した時点で貴方が有効な免許を持っていた(仮に違反点数が付されるタイムラグにより失効再取得した免許があった)場合、その免許は取消となります。
これは故意・過失を問わず起きた事実に基づいて淡々と処分が進みます(勿論処分する前に聴聞が行われ、被処分者の言い分を述べる機会は設けられております)
大変お気の毒ですが、過失とはいえ法を犯した事実は動かしようがないので、仕方ないことです。
＞＞この場合、書類が大体どのくらいで届くのか
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刑事処分・行政処分共に決定次第としか言いようがございません。
そう遠くない日に決定がなされるでしょう。
＞＞会社への報告義務があるものなのか分かる方いたら教えて下さい。
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お勤め先の就業規則等に依る話なので、個別具体的にご確認ください。

とり急ぎ、自動車の運転は必要なんでしょ？。だったらまずは失効再取得の手続きを取るべきです。失効から6カ月以内なら、無試験で再取得が出来ます。手続き名は「特別新規申請」と言います。住所地の都道府県名に続けて「運転免許 期限切れ」で検索しましょう。各都道府県の警察のホームページにある、街頭の手続きの案内記事が見つかるはずです。
もし、質問者さんが故意の無免許運転の疑いを既に持たれているのなら、失効再取得の手続きは拒否されます。その場合はどのみち免許の欠格期間が開始されているので、2年は再取得が出来ませんから、諦めるしかありません。しかし、まだ捜査が始まっていない、あるいは故意の無免許運転であるとの疑いが確定していない(悪意のないうっかり失効であると見做される可能性がある)なら、失効再取得による免許の再取得は認められます。そうすればその免許で運転を続けられます。そしてその後、故意性が無かったとして無免許運転が送検されなければ、後は歩行者妨害の刑事処罰を待つだけですから、生活に支障はないでしょう。
あるいは、捜査の結果、最終的に故意性があった(失効しているのを知っていて運転をした)と判断され、免許の取消処分を受けることになるかも知れませんが、それは数か月は先の話になります。それなら急に自動車の運転ができなくなる訳ではなく、それまでに生活の調整もできるでしょう。
最終的に故意の無免許運転と見做されて免許を失うとしても、それは自業自得ですから、受け入れざるを得ません。ただし、そうならない可能性があるうちは、免許は切らしてしまうべきではありません。このまま放置していたら、最終的に刑事処罰をうけなかった場合に、免許を失ってしまいますからね。

うっかり失効でも、無免許運転としてそのまま免取になります。
書類がどのくらいで届くのかは不明ですが、
最低2年は運転できない（＝免許再取得ができない）ことになるので、結果として会社に知らせる必要はあるのでは？

検察庁からの呼び出しのことでしょうかね？
運転免許が失効していたことに気が付かずに運転をしていたのであれば、無免許運転は罪には問われませんので、失効後6ヶ月以内に運転免許試験場等で失効手続きをしてください。
技能、学科の試験は免除です。
本来なら、軽微な違反で反則切符が交付されるところですが、免許の効力が有効でない人は交通反則通告制度の対象とならないため、検察庁からの呼び出しとなり、略式手続きで横断歩行者妨害の反則金相当額の罰金刑を受けることになります。
検察庁からの呼び出しを待つ必要はありませんので、失効手続きを行ってください。

失効でも更新期限から6ヶ月以内であれば、一部の警察署や運転免許試験場で申請し所定の手続きを踏めば新しい免許証を受け取れます。
期限から6ヶ月以上1年以内については別のルールがあり、申請手続きし所定の手続きを踏むと「仮免許」を取得した状態になります。
そのため、申請手続きの後は、免許証交付のために必要な学科教習と技能教習を受けて、本試験を受験して合格する必要があります。
質問者様は「申請手続きをして仮免許待ち」なのかなぁ。
失効してどのくらいなのかにもよると思います。
通勤中に事故を起こした場合には会社への報告は必要だと思いますよ。