平成16年式の車なんですが部品が壊れた時に車が古いため交換する部品がない

平成16年式の車なんですが
部品が壊れた時に車が古いため交換する部品がないから車検は受けずに乗り換えたほうがいい
と言われる可能性はあるでしょうか？

整備店が「手に負えない」と言うなら
部品探しも出来る整備能力のある店舗を探すことですね。

よほどの不人気車でなければ、まだパーツは出るかと。

そのくらい年式の車ならなんとかなるでしょ。
私の場合は「初年度登録....昭和60年」の車を維持しています。
40年前の車です。
このくらいになると、メーカーから部品が出ません。
でも、なんとか修理してます。
西日本の田舎に住んでいるんで地元じゃ修理不能です。
地元で修理できない時は200km離れた大阪の車屋さんで直してもらってます。
動けば、地元で車検はできるんですけど。

平成16年程度なら車検を通すのに必要な部品なら
まだまだ出ると思いますが
直すと高いからって理由で買い替えを勧められることは多々あります

あり得ます。中古部品の確保をする必要があるとは思いますよ！
これからは特にヘッドライト等がポリカ―ボネットに成って黄色くなる程度は良いですが、内側にひび割れが出た場合には交換が必要となります。