就職活動でESを書いており、免許・資格欄に交付機関を書かなくてはなり

就職活動でESを書いており、免許・資格欄に交付機関を書かなくてはなりません。
初めに免許を取ったのは埼玉県、前回の更新は静岡県、現住所(裏に記載)は岩手県なのですが、この場合は何県の公安委員会が交付機関になるでしょうか？

本来それは、あまり知られていないマイナーな資格を識別してもらうための欄で、誰もが知っている運転免許の場合、書かなくてもいい項目だとは思うんですがねぇ…。
まあ、今持っている免許証に書かれている公安委員会の都道府県名にしておくのが無難でしょう。どこで初取得したかなんて、証拠としての免許証で判別するのは難しい(不可能ではないが)ですし、今の免許証に一致しておけば間違いではありません。質問者さんの場合は静岡県ですかね。住所変更をした岩手県は、住所変更手続きにより今の管轄になっていますが、その免許証を交付した訳ではないですし。
そして、もし「卒業した高校や大学の所在地は埼玉だろ？、なんで埼玉って書かないの？」とか下らない指摘を面接でしてくるク●人事担当者が居る会社なら、その場で椅子と机を蹴り倒して退室すればいいと思います。そんな会社に入る価値もないし、わざわざ免許証を見せてちゃんと説明をしてやる必要もありません。

お手元の運転免許証に記載の公安委員会を書いてください。

ESの免許・資格欄に記載する交付機関は、現在お持ちの有効な運転免許証に記載されている交付機関(公安委員会)を記入するのが適切です。
つまり、今回の場合は岩手県公安委員会が交付機関となります。運転免許証の有効期限が切れた際に更新手続きを行う際、現住所地を管轄する公安委員会で手続きを行うため、交付機関が変更になるのです。
したがって、最新の運転免許証の交付機関である岩手県公安委員会を免許・資格欄に記載してください。

運転免許証の交付機関は、免許を初めて取得した時の公安委員会です。したがって、あなたの場合は「埼玉県公安委員会」と記載するのが適切です。更新時の公安委員会や現住所の公安委員会ではなく、初めて免許を取得した時の公安委員会を交付機関として記載してください。