私は地元の県で普通免許をとったのですが、今は仕事で違う県に住んでいます。今日

私は地元の県で普通免許をとったのですが、今は仕事で違う県に住んでいます。
今日教習所で中免の卒業検定に合格し、卒業証明書をもらったのですが、
免許の住所変更をしていなかったため、証明書の住所も地元の住所のままになっています。

そこで質問なのですが、卒業証明書の住所が地元でも、今居る県の免許センターで更新することができるのでしょうか？

ちなみに住民票は移しました。

今居る県の免許センターでやりたいのは、「更新」ではなくて「併記(免許種目の追加)」ですよね？っとまぁ、一応突っ込ませていただき(^^)♪
今居る県の免許センターで「併記」は出来ますよ♪ただし、「住所変更」と「併記」を同時にしなければ、受付けてくれません。万一、免許の住所変更を先にやっちゃうと、卒業証明書の住所と異なっちゃうので、教習所に卒業証明書の再作成をしてもらわなければなりません。
普通の人がやる「併記」とはちょっと窓口や所要時間も変わってきたりしますから、今いる県の免許センターの「受付」で、よく説明してから案内してもらってくださいネ。
卒業検定合格おめでとうございましたっ(^^)♪

免許の追加という事ですが、住民票が必要な時と言うのは「新規で免許を取る」時位なんですね。
ですので、アナタは既に免許を持っている訳ですので、二輪の追加をする歳は、「免許に載っている住所地で」というのが大原則になります。地元の免許センターへ行けばすんなりやって貰えますが、もし遠かったりいけない理由があるのなら、今済んでいるところにある免許センターで「住所変更」と同時に追記して貰うと良いでしょう。住民票を移しているという事ですから、住民票を持参しても良いし、郵便物等でも構わないですが、住所変更と追記を同時にやって貰ったら追記できますよ。