エンジンを始動するエンジンをかけるどちらも正しいですか？

エンジンを始動する エンジンをかける
どちらも正しいですか？

どちらも正しいです。
※『始動する』は、まさにその字の通り。
※『かける』は、漢字で『掛ける』と書きます。
意味は2つあって、どちらもちゃんと国語辞典に出ています。
①操作を加えて機械・装置などを作動させる
例：『目覚ましを掛ける』『レコードを掛ける』『ブレーキを掛ける』など。
②道具を用いて他に作用を及ぼす
例：『アイロンを掛ける』『雑巾を掛ける』など
・・・どちらも、スターターロープを引いたり、キックスターターを踏み下ろしたり、セルモーターを回すなど『道具を操作』して、別の機械＝エンジンを動かすイメージです。
※ついでに、最近流行り？の『つける』について。
『つける』は漢字で『点ける』と書きます。
漢字を見て『！』と来たヒトもいるでしょう。意味は『燃える様にする』という意味で、例は当然『火を点ける』です。こちらも当然、国語辞典に書いてあります。
エンジン（内燃機関）の始動は、昔から『火を入れる』などとも言われていて、『火を入れる』と同じ意味で『火を点ける』＝エンジンに点火する、というわけです。
ただ・・・エンジン始動は昔から慣例的に『掛ける』が使われていたので、いきなり『つける』と言われると、なんか『電灯をつける』みたいな感じがして違和感バリバリなだけです。
少なくとも『納車しました！』という様な、自分の低学力を世間に宣言するみたいな日本語ではない、ということです。

正しいです。たまにつけるという人がいますがそれは間違いですね。

はい、正しいですよ。
最近は「エンジンをつける」という人が増えていますが、これはツッコミポイントですね。
まあ個人的には意味は通じるのでいちいち突っ込んだりは基本しませんけど、そういうのに厳しい人もいますからね。

どちらも正しいです。
エンジンを始動させる際に「クランク棒」を用いるなどして直接的にエンジンを回転させる必要がありました。
この動作が「引っ掛ける」という意味での「掛ける」に近いことから、「エンジンを掛ける」という表現が生まれたという説があります。
電話を掛ける、みたいな。最初は指を引っかけてたので。

どっちも正しいです

正しい