9月に軽自動車を友人から譲り受けました。名義変更は完了しています。自賠責保険の

9月に軽自動車を友人から譲り受けました。
名義変更は完了しています。
自賠責保険の名義は変更していません。
12月に車検なのですが、そこで自賠責保険の名義は変わりますでしょうか。
また、車検時に軽自動車も納税証明書が不要になった認識ですがあっていますでしょうか。

貴方の認識で大丈夫です。

中古車購入直後などの場合、納税証明書が必要なケースもあるようです。

自賠責保険は人ではなく自動車に掛けるもの、そのため名義変更はしなくても良いし車検時の加入には名義変更と言った概念ではなく車検証を見ての加入手続きにもなるため、所有者または使用者名で加入になりますよ。