免許証の再発行は発行した県の免許センターでないとできないのでしょうか？

免許証の再発行は発行した県の免許センターでないとできないのでしょうか？

その通りです。発行した都道府県の運転免許センターでないと出来ません。
但し、転入で住所変更を伴う場合は現在お住まいの都道府県の免許センターでも出来ます。この場合は下の方の回答にある必要書類のほかに住民票等の住所変更を証明する書類も必要になります。また、免許取得の事実を紛失した免許証を発行した都道府県公安委員会に確認するため交付まで２週間程度かかります。

免許証の再交付手続きは、免許センター及び住所地の警察署でできます。但し、警察署での再交付手続きができない地域もあるので事前に確認してください。
必要とする物は、免許用写真、印鑑、再交付手数料、免許証破損の場合の免許証、身分が確認できる健康保険証等です。
免許センター等に備付けてある紛失てん末書、再交付申請書に必要事項を記載のうえ再交付手数料の収入証紙を貼付し窓口に提出してください。所要時間は、長くても30分くらいでしょう。
警察署で再交付申請した場合、即日再交付免許を受領できません。
再交付申請は本人がすることが必要で代理人による申請はできません。