原付の免許証の有効期限が今年の５月１３日なのですが、もう過ぎてるので、警察

原付の免許証の有効期限が今年の５月１３日なのですが、もう過ぎてるので、警察署とかではもう更新してもらえないのでしょうか？

期限の一ヵ月後までなら大丈夫だったのに、惜しいですね～
更新しなかった理由はうっかり忘れていたのでしょうか？
やむを得ない理由があるのならその理由を証明できるものがあれば再発行は簡単らしいですが
うっかり忘れていたのなら講習と適性検査を受けることになるそうです。どちらにしても免許センターに行くことになると思いますが
警察の交通課に聞いて見たらいかがでしょうか。

あなたはもう、今、免許証を「失効」していて
無免許状態です。乗ったらだめですよ。
ということで手続きは、
半年内であれば
住民票原本を用意し、写真と失効した免許証を持って
平日に運転免許試験場（免許センター）に行く
適性検査を受けることにより失効前の免許を与えられます。
新たに免許を受けるという形になります。