原付免許の本当に細かい正式名称第一種原動機付自転車運転免許です

原付免許の本当に細かい正式名称
第一種原動機付自転車運転免許
ですよね？

いえ、"第一種"が付かないのが正式名称です。
また、さらに"運転"も正式名称には含まれず、「原動機付自転車免許」になります。
(道交法 第84条第3項)
おそらく、営業用の「第二種運転免許」を意識してそう思われたのでしょうが、「普通自動車免許」等を含め、第一種運転免許には"第一種"と付かないのが正式名称です。
道路運送車両法における「第一種原動機付自転車」「第二種原動機付自転車」を意識してのことであれば、運転免許は道路交通法の管轄で、道路運送車両法における"第一種"・"第二種"の名称は免許制度とは無関係です。
ちなみに第二種運転免許の場合は、例えば「普通自動車第二種免許」等というのが正式名称ですから、仮に"第一種"を入れるとしても場所が異なります。

第一種原動機付自転車免許は過去（４５年前⇒１９６４年）に存在した呼称です。
※過去の自動車免許の変遷を把握出来ていない回答も多いのでお気を付け下さい。
そして下記をお読み下さい。
第一種原動機付自転車免許⇒昭和３５年から昭和３９年まで存在した免許で以降は原動機付自転車免許(道交法 第84条第3項)と称する。
第二種原動機付自転車免許⇒昭和３５年から昭和３９年まで存在した免許で以降は自動二輪免許に組み込まれるものの何度もの変遷の後に現在の普通自動二輪免許(小型限定）となる。
第二種原動機付自転車免許で乗れたバイク⇒50cc超125cc以下
※バスやタクシーなどの旅客自動車を旅客運送のため運転しようとする二種免許とは無関係です。
現在も存在する車両法の行政上の区分。
日本において原動機付自転車は運用する法律によって排気量の定義が異なる。後述するように、道路交通法では50cc以下が原付であるものの、道路運送車両法などでは125cc以下を原付と定義しており、この場合、50cc以下を「第一種原動機付自転車（通称：原付一種）」、50cc超125cc以下を「第二種原動機付自転車（通称：原付二種）」と表現する。
50cc超125cc以下を「第二種原動機付自転車（通称：原付二種）」と表現する。⇒運転には普通自動二輪免許(小型限定）が必要です。
区分 ナンバープレートの色
（異なる市区町村もある）
第1種原動機付自転車 50cc以下 白色
第2種原動機付自転車（乙）90cc以下 黄色
第2種原動機付自転車（甲）125cc以下 桃色
ミニカー 水色