運転免許証の住所変更について引っ越しにより住所変更をしたいのですが、役所に

運転免許証の住所変更について
引っ越しにより住所変更をしたいのですが、役所にて住所変更したあとに、住民票とかを持っていくのでしょうか？
また警察署ではどのような手続きになりますか？

あなたの運転免許証のほか、新しい住所を証明できるものを持っていってください。
住民票以外では、新住所の健康保険証、消印付郵便物、住所が確認できる公共料金の領収証などです。
消印のないダイレクトメールや年賀状はだめです。
警察署で行う場合は、平日の 執務時間内 になります。
お住まいの府県の免許センターなどへ電話して、確認をしてから出向くことをお勧めします。
http://www.driving-license-mag.com/center.html
【補足します】 住所変更だけであれば、手数料は不要ですよ。

新しい住所の掲載された住民票（印鑑も必要だったかもしれません）を警察に持っていけば、免許証の裏に新しい住所を載せてくれます。
警察に行く前に一度電話をして
・住所変更を受け付けている最寄りの警察
・受付時間
・必要な持ち物
を聞いた方が確実です。

いくらか忘れましたが手数料もとられました。

その通りです。
役所で住所変更をすると同時に、新しい「住民票」をもらい、
それを持って、免許センターや警察署などで免許の住所変更を行います。
警察署では、運転免許関係の窓口があるので、
そこに免許証と新しい住民票を出し、住所変更したい旨を申し出るだけです。
あとは、詳しく教えてもらえるので、心配ご無用。