免許の更新ですが、１月１５日の誕生日までに更新しないといけないのです

免許の更新ですが、１月１５日の誕生日までに 更新しないといけないのですが、仕事でどうしても行けません。 誕生日を過ぎても 大丈夫でしょうか？ 大丈夫なら、いつまでなら良いのでしょうか？
その時の手続き方法も教えて下さい。

誕生日の前後１ヶ月間が、更新期間となります。
１ヶ月を過ぎた場合、６ヶ月以内なら講習受講のうえ、適正試験の合格で更新できます。
６ヶ月を過ぎると、仮免許状態となりますので諸々の手続きが必要です。

＞免許の更新ですが、１月１５日の誕生日までに 更新しないといけないのですが、
＞仕事でどうしても行けません。 誕生日を過ぎても 大丈夫でしょうか？
経由更新の話ですか？
経由更新であれば、誕生日の１ヶ月前から誕生日の期間となっていますので、誕生日を過ぎた場合は経由更新はできません。
通常の更新であれば誕生日の前後１ヶ月以内が更新期間となります。
管轄の免許証センター等に行けば日曜日でもやってくれますよ。（土曜日はやってない。）

運転免許ですよね？
なら有効期限は誕生日の1ヵ月後のはずなので、それまでは普通に更新できると思いますが…

誕生日の一ヶ月ごまで更新できますよ。
普通の更新と同じ手続きです。