緊急!運転免許証をなくしてしまい、明日免許センター(滋賀県守山)に更新に

緊急! 運転免許証をなくしてしまい、明日免許センター(滋賀県守山)に更新にいこうと思います。その際の必要書類を教えてください。

まずは警察に行って遺失物の届けを出すのが先では無いでしょうか？

先ずは、最初の方がお書きのとおり、所轄の警察署（本署）に行ってください。県警によって異なりますが、福岡県警察の場合には紛失の顛末書を書かなければなりません。そうで無くても、警察への紛失届は必要です。
それを持って、試験場で再交付を受けます。それから更新になりますので、１日で終わらないことも有り得ます。
詳しくは滋賀県警の運転免許課に尋ねましょう。

滋賀県警ＨＰ参考
再交付の必要書類ですが、同時更新もこれで良いでしょう。
・本人確認ができるもの(パスポート、学生証、社員証、健康保険証等)
・印鑑 （認印、スタンプ系可）
・写真1枚
(縦3cm、横2.4cm、無帽、無背景、正面、上三分身、6月以内撮影)
・手数料
★追加で書きます
ＨＰで確認しています、紛失証明、顛末書の提出は必要ないです。
悪用されるのが心配なら、紛失届けは出しておけば良いでしょう。