免許証の住所変更をしていなくて更新期限を迎えた場合。現在埼玉県の免許証

免許証の住所変更をしていなくて更新期限を迎えた場合。
現在埼玉県の免許証を持っています。
免許の取得時は埼玉に住んでいたのですが、その後東京に引越し、住民票は東京にあります。
今回誕生日を迎え免許更新の案内が来ました。埼玉の警察署で更新と同時に住所変更をすれば良いのでしょうか？東京の警察署にも行く必要がありますか？

そもそも、東京に転居した時に、最寄りの警察署に行って、運転免許証の住所変更の手続きをしておく必要があったんですよ。
「埼玉の警察署で更新と同時に住所変更をすれば良いのでしょうか？東京の警察署にも行く必要がありますか？」
どちらでもありません。現在の東京の住民票の写しを持って、東京都内にある3か所の試験場(府中、江東、鮫洲)のいずれかに行き、更新と住所変更の手続きを取ることになります。
住所変更の手続きは新住所の都道府県内でしか出来ませんし、東京都では初回/違反の講習種別の人は警察署での更新手続きはできませんからね。

埼玉ですることはありません。
東京で住所変更と更新をすればいいだけ。

基本は東京のお住まい（住所地）市区町村を管轄してる警察署で 住所変更の届けを出す。 住民票を持って行くだけ… ほんの数分。
変更は速やかに！ が法だ。
都の免許センターでも 更新と同時に可能。
必要な書類や 対応出来る曜日・時間はＨＰを見て。