引越しに伴う運転免許証の住所変更について教えてください。『引越し

引越しに伴う運転免許証の住所変更について教えてください。
『引越し後14日以内』と聞いたのですが、それを過ぎると何か不都合があるのでしょうか？
というのは、免許更新が間もなくで、引越し後17日経つと更新ができる状況なのです。引越し先が田舎のため、免許センターや警察署が遠く、できれば１回で済ませたいと思っています。

14日以内とお聞きになったのは、免許証の住所変更ではなく住民票の移動ですね。
遅れると稀ですが過料が科せられる場合もありますので、転入届はきっちりしてくださいね。
免許証の住所変更は法律上、すみやかに変更しなければならないとあるものの何時までにということは決まっていません。
罰則規定がありますが、住民票のように期限が決まっていない故に適用されたと言う話は聞いたことがありません。
質問にお書きになっている程度は全く問題ありません。
あらかじめ住民票を取得されておき、更新の際に持参して住所変更をしてください。

更新通知のはがきは、誕生日の４０日前には届くように郵送されてますので、今から住所変更したとしても間に合わないおそれがでてきます。
変更だけをするよりも、更新の時に住所変更を一緒にしたほうが、１度に済ませることができていいと思います。
都道府県によって必要書類が違ってきますが、もし住民票があれば確認書類として持って行けば間違いありません。
あとは、免許証・更新の手数料・印鑑があれば手続きできると思います。

sdf0401さんがおっしゃられている通り、免許証の住所変更と転入届がごっちゃになって勘違いされています。
次回の更新時に一緒に住所変更（記載事項変更）をして全然問題ありません。
必要書類として
・現有免許証
・更新手数料（証紙代）
と
現住所記載の
・住民票
・健康保険証
・消印がある郵便物
のいずれか一点を持って
最寄りの警察署または運転免許試験場へ行って下さい。
順番は
住所変更→更新
の順番ですれば新しい免許証には表に新住所が掲載されます。

本当はさっさと書き換えないといけないんだろうけど、別に焦らなくても良いです。
住所変更せずそのままの人なんてごまんと居ます。困るのは、免許記載住所＝更新場所 なんで、次回免許更新時に、免許変更してなければ、葉書が前の住所に届いちゃって忘れてしまうかも？って事です。それすら大丈夫なら、次回更新時に「住所変更と更新を同時に」でもいいかもね。実際そういう人も沢山いますし。